Plusieurs thèmes sont étudiés : (i) celui de la modélisation spatio-temporelle de modèles sur un graphe fini. Les modèles retenus sont du type Gibbs. Ils
s’avèrent souples dans leur utilisation statistique et comme modèle de prédiction ; (ii) L’étude de tests de non-coordination spatiale pour des modèles spatiaux pouvant modéliser une dynamique d’adoption de standard ; (iii) L’étude empirique de loi de répartition spatiale après une seule itération de la procédure séquentielle de choix, cela en fonction de différentes règles d’adoption et de conditions initiales de " dumping " plus ou moins marquées. Les outils de bases sont ceux des chaînes de Markov.
Des modèles très utiles en Econométrie sont les modèles de Markov cachés. Ils permettent modulo un coût réduit (coût mesuré en dimension paramétrique) d’élargir significativement les modélisations et s’avèrent fort utiles dans la pratique. La question étudiée est la stabilité (ou stationnarité) de tels modèles (cf. Picard, Bougerol). Elle est résolue pour un modèle AR(1) non-linéaire à nombre fini de régimes cachés, la caractérisation obtenue étant sous-optimale. Ceci étend les résultats de Francq-Roussignol. Les problèmes en cours sont l’estimation de ces modèles (incluant l’asymptotique des estimateurs) ainsi que la stabilité des modèles de diffusion cachée à régime markovien.
De nombreux phénomènes (par exemple en environnement, géographie, économie) observés dans l’espace et dans le temps présentent une non-stationnarité spatiale. Cela pose le problème du choix de la modélisation non-stationnaire à adopter (paramétrique ou non), et de son estimation. En géographie comme en science environnementale, une façon classique est de modéliser la covariance spatiale non-stationnaire via une déformation spatiale (anamorphose ; cf. Guptorp et Sampson). C’est le sujet de la thèse de O. Perrin que de répondre à ces questions. Pour les modèles non-paramétriques, l’algorithme de Recuit Simulé est particulièrement performant pour la recherche de la déformation. Enfin, lorsque le " pas " de discrétisation spatiale d’observation est fin, l’utilisation de variations quadratiques linéaires ou superficielles est un nouvel outil d’identification à l’étude. Ce qui étend au cas non-stationnaire les résultats de Baxter, Guyon-Leon et Istas-Lang.
Les questions traitées par S. Souchet sont relatives à l’estimation de la dérive d’une diffusion observée à pas discret et petit (on parle aussi de données hautes fréquences) : (i) les schémas anticipatifs du trapèze (ou de Simpson) affinent le schéma d’Euler et, utilisés dans le contraste des moindres carrés, permettent de diminuer le biais d’estimation sans perte d’efficacité (pour le schéma d’Euler, cf. les travaux de D. Florens) ; (2) lorsque la dérive présente une discontinuité en un paramètre de seuil inconnu (en fait une discontinuité de la dérivée), l’estimation de ce seuil est obtenue ainsi que ses propriétés asymptotiques ; l’estimation de ce paramètre de seuil est toujours particulièrement délicate et étend les résultats de Chan au cas diffusion ; (3) enfin l’estimation des modèles CAR(p) à temps continu (que l’on peut aussi voir comme une diffusion vectorielle) est complètement traité, comblant les manques soulignés par Hydmann et Brockwell.
Trois thèmes principaux sont abordés. (i) On s’intéresse à l’approximation de fonctions au sens de la topologie de la convergence uniforme par des perceptrons à une couche cachée. La méthode d’approximation permet de donner des vitesses de convergence pour la fonction ainsi que pour toutes ses dérivées partielles. (ii) Par des méthodes de convergence étroite, on exhibe des critères d’existence d’une loi stationnaire pour une certaine classe de chaînes de Markov non fellériennes. On donne également, pour ce type de chaînes, les critères permettant d’assurer des propriétés de loi des grands nombres du type stabilité ou récurrence positive (ou au sens de Harris). (iii) On aborde l’étude des systèmes dynamiques perturbés par un bruit non évanescent. Sous l’existence d’une fonction de Lyapounov, on montre que les points fixes instables du système ne sont pas chargés par les lois limites éventuelles.
Nous nous intéressons à l’estimation de processus par procédure de régression sur le log du périodogramme. Afin d’obtenir l’efficacité, nous considérons le périodogramme régularisé, c’est-à-dire que l’on divise les observations en m paquets et que l’on effectue au préalable la moyenne du périodogramme sur ces paquets. Cette procédure est particulièrement utile dans le cas des processus fractionnaires de type ARIMA(p,d,q) où le paramètre d peut être éventuellement estimé seul ; ceci est important dans le cas des processus à mémoire longue où ce paramètre traduit la présence de longue mémoire ou non.
S. Iovleff s’intéresse d’autre part à la construction d’une intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien fractionnaire : celle ci est construite pour une classe bien spécifiée de fonctions déterministes et généralise un travail de J. Lin.
Dans le cadre de la sélection de modèles paramétriques à l’aide d’un contraste pénalisé, nous donnons une description analytique des ensembles de mauvaises (sur- et sous-) paramétrisations . Cette description est générale, recouvrant les cas classiques de régression ou autorégressions linéaires, de modèles markoviens, etc….. Dans une deuxième étape, la structure probabiliste des modèles est jointe à cette estimation pour obtenir une quantification précise en probabilité du risque de sous-paramétrisation ou de sur-paramétrisation. Ces quantifications donnent un nouvel éclairage sur la forte dissymétrie entre ces deux mauvaises paramétrisations. Nous en déduisons les critères de convergence faible ou forte de la sélection de modèles par rapport à la vitesse de pénalisation utilisée. Le travail a été motivé par un résultat antérieur de Bai Z.D.
Dans une autre direction, J. Yao a étudié les propriétés asymptotiques de l’estimateur des moindres carrés pour des processus AR non linéaires stables. Le sujet est ancien (cf. Tong, Poscher) mais l’approche est nouvelle. Elle est basée sur les récents résultats sur la stabilité des chaînes de Markov (cf. Meyn-Tweedie et Duflo) et a permis d’obtenir un ensemble de résultats précis. Ceux-ci s’appliquent en particulier aux perceptrons autorégressifs.
Nous nous sommes intéressés à plusieurs problèmes faisant intervenir des algorithmes stochastiques.
Dans un travail actuel, nous étudions l’estimation récursive des modèles autorégressifs à régime markovien. L’estimation récursive est souvent imposée par l’utilisation de ces modèles dans un environnement adaptatif (estimation en ligne).
Hors dans le cas où une estimation hors ligne (usuelle) est possible, la particularité de ces modèles cachés font que celle-ci comporte une importante difficulté de mise en ouvre, essentiellement due à la complexité particulière de la surface de la vraisemblance. L’estimation récursive présente ici encore une alternative intéressante.
Dans le même ordre d’idées, J. Yao a étudié l’estimation récursive des modèles cachées avec observations indépendantes. Le travail a été rendu possible par une récente technique de stabilisation, " troncatures aux bornes aléatoires ", développée par Chen H.F. et ses collaborateurs.
Dans une direction légèrement différente, J. Yao a étudié le problème de recuit simulé ou simulation sous contrainte sur un espace fini à l’aide d’une chaîne de Metropolis inhomogène. Basée sur les coefficients d’ergodicité de Dobrushin , ce travail établit des conditions suffisantes sur les schémas de températures garantissant la convergence de l’algorithme. Il constitue un pendant des résultats obtenus par S. et D. Geman dans le cas d’une dynamique de Gibbs.
Un autre travail entrepris par J. Yao (en collaboration avec I. Trouvé , ENS Cachan) consiste à estimer la variance asymptotique (autocovariance intégrée) d’un estimateur type moyenne empirique et issu d’une chaîne de Markov qui simule un état (loi) stationnaire.
Enfin en collaboration avec J. Chadoeuf et R. Senoissi ( INRA , Avignon), J. Yao a mené une application de l’algorithme SEM pour des observations de données spatiales tronquées.
(9)Dynamiques temporelles (Bernard Girard, Yvonne Girard)
Analyse de la dynamique du système hydrologique de 3 rivières (Seine, Oise et Marne) à partir de 6 variables physico-chimiques mesurées journellement sur 10 ans (contrat avec la CGE, pour le Syndicat des Eaux de l’Ile de France) : identification de processus vectoriels dans leur représentation markovienne, recherche de modèles optimaux et prévision ; construction d’une application informatique pour les prévisions à 1, 2 et 3 jours intégrable dans un système d’information (projet " SEQUOIA "). (Année 1997).
Modélisation de l’insécurité routière (contrat avec l’INRETS, en collaboration avec l’ENS Cachan) par des processus vectoriels emboités (trafic, accidents, gravité). Mise à la disposition du ministère des transports d’un logiciel d’identification automatique, d’estimation et de prévision simultanée d’un ensemble de séries temporelles. Année 1997.
Présentation lors de la conférence internationale organisée par l’INRETS (France), KSB (Suède), Société de l’assurance automobile du Québec (26 et 27 novembre 1998).
PUBLICATIONS –ACTION DE FORMATION-RELATIONS INTERNATIONALES 1977-1999
(à remplir individuellement)
Jean Gabriel Attali
(1)
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Xavier Guyon
Publications
(1)
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(7)
Activités de formation 1997-1999
Relations internationales
Université de Tunis 3 : Cours à l’Institut Supérieur de Gestion (Tunis 3), Modèle linéaire généralisé (juin 1998)
Invitation du professeur Ricardo Grau, Université de Las Villas, Cuba (juin 1997)
Cécile Hardouin
(1)
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Serge Iovleff
(IUP de Vannes et SABRES ; ne figure ici que le travail en collaboration avec le SAMOS)
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Olivier Perrin
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Sandie Souchet
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J. F. Yao
Publications
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(8)
Relations internationales