Résumé : L’objet de cet exposé, qui se veut introductif et abordable, est de présenter le problème des métriques canoniques, posé en 1958 par René Thom : "Peut-on munir n’importe quelle variété compacte lisse d’une métrique riemannienne privilégiée ?".
Après avoir défini ce que l’on entend par une métrique riemannienne sur une variété, j’exposerai en quoi la courbure donne lieu à la "bonne" notion de métrique privilégiée. Cela m’amènera à discuter des différentes notions de courbure : qu’est-ce que la courbure d’une courbe ? D’une surface dans R^3 ? Pourquoi s’y intéresser ? Si le temps le permet, je parlerai plus spécifiquement de ce problème dans le cas des variétés kählériennes, qui constituent un cadre particulièrement agréable pour mener à bien l’analyse.