Résumé : Nous étudions l’équation de Schrödinger non linéaire (NLS) de type "focusing", soumise à une perturbation aléatoire additive ou multiplicative dirigée par un mouvement Brownien de dimension infinie. Sous des hypothèses convenables sur la covariance spatiale du bruit, A. de Bouard et A. Debussche ont prouvé l’existence et l’unicité de solutions locales dans $H^1$, et de solutions globales pour une non-linéarité $L^2$ sous-critique. Nous étudions les cas critiques pour la masse, pour l’énergie, ainsi que le cas "inter-critique".
Nous obtenons des estimations quantitative sur le temps d’explosion lorsque la masse, l’énergie et l’énergie cinétique de la condition initiale sont contrôlées par des quantités similaires de la solution d’une EDO liée à la non-linéarité. Ce travail a été fait en collaboration avec Svetlana Roudenko (FIU).