Résumé : Un espace de Banach X a la propriété de Radon-Nikodym
si toute mesure borélienne sur [0,1] à valeurs dans X et qui est
absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue
possède une densité. Cette propriété peut par exemple se caractériser en termes de martingales,
en termes de différentiabilité de fonctions à valeurs dans X ou en termes géométriques.
Nous montrons ici qu’un espace a la propriété de Radon-Nikodym si et seulement si
il vérifie une version vectorielle du fait que toute suite décroissante minorée de réels
est convergente. Nous appliquerons ce résultat à la construction de fonctions différentiables
en tout point et solutions presque partout d’équation de Hamilton-Jacobi,
mais qui ne sont pas des solutions de viscosité (ces dernières étant les solutions
que l’on recherche en contrôle optimal).